Archive for 2017

Sumber: Fresidy, Budi (2010). Matematika Keuangan, Edisi 3 Revisi. Penerbit Salemba Empat. Jakarta

= Bunga Majemuk =

Materi yang lalu, kita asumsikan bahwa P tidak mengalami perubahan dari awal hingga akhir, sehingga nilai bunga selalu dihitung dari nilai pokok ini, hal ini terjadi pada bunga sederhana dan diskon. Dengan bunga majemuk, bunga yang jatuh tempo ditambahkan ke nilai pokok pada akhir setiap periode coumpond atau periode perhitungan bunga untuk mendapatkan pokok yang baru. Perhitungan bunga untuk periode berikutnya akan didasarkan pada nilai pokok baru ini dan bukan pada nilai pokok awal, begitu seterusnya.

Periode perhitungan bunga adalah periode bunga dihitung untuk ditambahkan ke pokok. Periode perhitungan bunga tidak harus satu tahun walaupun tingkat bunga selalu dinyatakan per tahun. Periode perhitungan bunga dapat dinyatakan dalam mingguan, bulanan, triwulanan, semesteran atau tahunan. Jika periode perhitungan bunga bukan tahunan, misalkan bulanan, maka tingkat bunga juga harus dalam bulan, yaitu dengan membagi tingkat bunga tahunan dengan dua belas.

Contoh: Hitung bunga dari Rp1.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 10% p.a. apabila bunga dihitung semesteran dan bandingkan dengan bunga sederhana yang dihasilkan.

Jawab:

Periode	Pokok Pinjaman (Rp)	Perhitungan Bunga Majemuk	Nilai pada Akhir Periode (Rp)
1	1.000.000	Rp1.000.000 x 0,05 = Rp50.000	1.050.000
2	1.050.000	Rp1.050.000 x 0,05 = Rp52.500	1.102.500
3	1.102.500	Rp1.102.500 x 0,05 = Rp55.125	1.157.625
4	1.157.625	Rp1.157.625x0,05 = Rp57.881,25	1.215.506,25

Jadi, total bunga majemuk selama dua tahun adalah Rp215.506,25, sedangkan bila menggunakan bunga sederhana, total bunganya adalah Rp200.000 (Rp1.000.000 x 10% x 2).

Untuk mempermudah perhitungan bunga majemuk, kita akan menggunakan notasi sebagai berikut:

P = nilai pokok awal (principal)

S = nilai akhir

n = jumlah periode perhitungan bunga

m = frekuensi perhitungan bunga dalam setahun, yaitu 2 untuk semesteran, 4 untuk triwulan, dan seterusnya

j_m = tingkat bunga nominal tahunan dengan periode

i = tingkat bunga per periode perhitungan bunga

formula dari bunga majemuk

S = P (1+i)ⁿ

Faktor (1+i)ⁿ disebut faktor majemuk (compound factor) dan proses perhitungan S dari P disebut compounding atau akumulasi atau mencari nilai akan datang (future value). Sementara itu, perhitungan P dari S disebut mencari nilai sekarang (present value).

Contoh: Berapa nilai S dari P sebesar Rp10.000.000 jika j₁₂= 12% selama:

a. 5 tahun

b. 25 tahun

a. P = Rp10.000.000

i=12%/12 = 1% = 0,01

n= 5 tahun x 12 = 60 bulan

S= P(1+i)ⁿ

= Rp10.000.000 (1+0,01)⁶⁰

= Rp18.166.967

Pertumbuhan uang Rp100 pada tingkat bunga majemuk j₁₂

Tahun	6%	8%	10%	12%
5	134,89	148,98	164,53	181,67
10	181,94	221,96	270,70	330,04
15	245,41	330,69	445,39	599,58
20	331,02	492,68	732,81	1.089,26
25	446,50	734,02	1.205,69	1.978,85
30	602,26	1.093,57	1.983,74	3.594,96
35	812,36	1.629,26	3.263,87	6.530,96
40	1.095,75	2.427,34	5.370,07	11.864,77
45	1.478,00	3.616,36	8.835,42	21.554,69
50	1.993,60	5,387,82	14.536,99	39.158,34

b. P=Rp10.000.000

i= 1% = 0,01

n= 25 tahun x 12 = 300 bulan

S = P(1+i)ⁿ

= Rp10.000.000 (1+0,01)³⁰⁰

= Rp197.884.662,6

Total bunga majemuk dari Rp10.000.000 dengan j₁₂=12% selama 25 tahun adalah Rp197.884.662,6 atau lebih dari 18 kali nilai pokok awal. Jika metode bunga sederhana yang digunakan, jumlah bunga hanya Rp30.000.000 jauh di bawah hasil dengan bunga majemuk.

>> Bunga Efektif dan Bunga Nominal

Tingkat bunga tahunan yang dinyatakan itu apakah diakhiri dengan p.a. atau tidak, disebut tingkat bunga nominal. Untuk setiap tingkat bunga nominal tertentu (j_m), kita mendapatkan tingkat bunga efektif yang ekuivalen yaitu yang jika digandakan tahunan (j₁) memberikan besar bunga yang sama per tahun.

j₁ artinya periode perhitungan bunga adalah sekali setahun atau tahunan, j₂ artinya dua kali dalam setahun atau semesteran, j₃ artinya tiga kali dalam setahun atau kuartalan, j₄ triwulanan, j₁₂ bulanan dan seterusnya.

Formula: j₁ = (1+i)^m – 1

Contoh: Hitung tingkat bunga efektif j₁ yang ekuivalen dengan:

a. j₂ = 10%

b. j₁₂ = 12%

c. j₃₆₅ = 13,25%

Jawab:

a. j₂=(1+(0,1/2))²-1

= (1,05)²-1

= 0,1025 = 10,25%

b. j₁₂=(1+(0,12/12))¹²-1

= (1,01)¹²-1

= 0,126825 = 12,68%

c. j₃₆₅=(1+(0,1325/365))³⁶⁵-1

= 1,14165 – 1

= 0,14165 = 14,17%

Berapa tingkat bunga sederhana yang ekuivalen dengan j₂=9%, jika uang disimpan selama tiga tahun?

Jawab:

1+3r = (1+(0,09/2))⁶

1+3r = 1,3022601

r = 0,1007533

= 10,08%

>>Menghitung nilai sekarang

Seringkali kita diberikan nilai akhir (S), tingkat bunga (i), dan periode waktu (n) dan diminta untuk mencari atau menghitung nilai P, yaitu nilai sekarang (present value) atau nilai yang didiskontokan (discounted value) atau nilai pokok awal. Proses mencari P dari S ini disebut pendiskontoan (discounting).

P = S/ (1+i)ⁿ

^{= S}(1+i)^-n

Atau yang lebih popular;

PV = FV (1+i)^-n

Faktor (1+i)^-n disebut faktor diskonto (discount factor)

Contoh: Dengan menggunakan j₁₂=12%, hitung nilai diskonto dari uang sejumlah Rp100.000.000 yang jatuh tempo:

a. 10 tahun lagi

b. 25 tahun lagi

Jawab:

a. a) S=Rp100.000.000

n= 10 tahun x 12 = 120 bulan

i= 12%/12 = 1% = 0,01

P = S/ (1+i)ⁿ

^{= Rp100.000.000/}(1+0,01)120

^{= Rp 30.299.477,90}

b. b) S= Rp100.000.000

n= 25 tahun x 12 = 300 bulan

i= 12%/12=1%=0,01

P = S/ (1+i)ⁿ

^{= Rp100.000.000/}(1+0,01)300

= Rp5.053.448,75

Perhatikan bahwa sebaiknya pembulatan dalam menghitung (1,01)¹²⁰ dan (1,01)³⁰⁰ tidak dilakukan karena bukan merupakan hasil akhir. Kalaupun dilakukan pembulatan, usahakan sampai beberapa angka decimal untuk angka yang belum atau bukan merupakan hasil akhir dan cukup dua angka desimal untuk hasil akhir seperti contoh diatas.

Contoh: Pada tanggal 1 Januari 2010, sebidang tanah ditawarkan pada harga Rp180.000.000 secara tunai atau dengan membayar Rp100.000.000 hari ini ditambah Rp50.000.000 satu tahun lagi dan Rp50.000.000 dua tahun lagi. Jika diketahui j₁=16%, alternatif pembayaran mana yang sebaiknya dipilih pembeli?

Jawab:

Untuk menjawab soal ini, kita akan menghitung total nilai sekarang dari alternatif kedua kemudian membandingkannya dengan alternatif pertama. Pembeli tentunya akan memilih alternatif dengan harga yang lebih rendah.

Nilai sekarang dari alternatif pertama adalah Rp180.000.000.

Nilai sekarang dari alternatif kedua adalah:

=Rp100.000.000+Rp50.000.000(1,16)^-1+ Rp50.000.000(1,16)^-2

=Rp100.000.000+Rp43.103.448+Rp37.158.145

=Rp180.261.593

Alternatif kedua lebih mahal Rp261.593 dibandingkan alternatif pertama. Olehkarena itu, pembeli sebaiknya memilih alternatif pertama.

Diskon dan Tingkat Diskon

Sumber: Frensidy, Budi (2010). Matematika Keuangan, Edisi 3 Revisi. Penerbit Salemba Empat. Jakarta

>> Banyak perusahaan yang menerapkan diskon dalam transaksi keuangan. Seperti diskon untuk meramaikan penjualan.

Jika menghitung Diskon dengan menggunakan tingkat bunga:

Contoh. Berapa besarnya diskon dari Rp8.000.000 selama 9 bulan pada tingkat bunga 10% p.a.?

Jawab: S= Rp8.000.000

r= 10% = 0,1

t= 9/12 = 0,75

P = S/(1 + rt) = Rp 8.000.000/(1 + (0.1 x 0.75))

=Rp7.441.860,47

D= S – P =Rp8.000.000 – Rp7.441.860,47 = Rp558.139,53

Jika yang diberikan tingkat diskon (d) maka kita gunakan formula lain.

D = S.d.t

P = S – D

P = S – (S.d.t)

P = S (1 – dt)

Contoh :

Hitung nilai sekarang dari Rp10.000.000 yang jatuh tempo 1 tahun lagi dengan:

a. Tingkat bunga 10%

b. Tingkat diskon 10%

Jawab:

a. a) S= Rp10.000.000

r= 10% = 0,1

t = 1

P = S / (1 + rt) = Rp 10.000.000/ (1 + (0.1 x 1)) = Rp 9.090.900,09

b. b) S= Rp10.000.000

r= 10% = 0,1

t = 1

P=S(1-dt)=Rp10.000.000(1-(0,1x1)=Rp9.000.000,00

>> Wesel

Wesel (Promissory notes/Pro-notes/P-notes) adalah janji tertulis seorang debitur atau pembuat wesel untuk membayar kepada atau atas perintah dari kreditur atau penerima wesel sejumlah uang, dengan bunga atau tanpa bunga dan pada tanggal tertentu. Wesel yang mengandung bunga disebut wesel berbunga (interest-bearing note), sedangkan wesel yang tidak mengandung bunga disebut wesel tidak berbunga (non-interest bearing note).

Rp 100.000.000 (seratus juta rupiah) Depok, 1 Juli 2010

Enam Puluh hari terhitung dari hari ini, saya berjanji untuk membayar kepada Tuan Bakhtiyar

Seratus Juta Rupiah

Beserta bunga sebesar 11% p.a.

Tanda tangan,

Achmad

Wesel berbunga dengan nilai nominal Rp100.000.000. tanggal penerbitan wesel tersebut adalah 1 Juli 2010 dan jatuh tempo dalam 60 hari atau tanggal 30 Agustus 2010 dengan bunga 11%. Nilai wesel pada saat jatuh tempo adalah Rp100.000.000 x (1+0,11(60/365) = Rp101.808.219,20.

Sebuah wesel dapat dijual satu atau berulang kali sebelum tanggal jatuh temponya. Setiap pembeli akan menghitung diskon dari tanggal penjualan hingga tanggal jatuh tempo menggunakan tingkat diskonnya. Nilai jatuh tempo dikurangi diskon adalah nilai yang akan diterima oleh penjual.

Contoh: jika wesel yang ditandatangani Tuan Achmad di atas pada tanggal 1 Agustus 2010 dijual oleh Tuan Bakhtiyar kepada Bank AAA dengan menggunakan tingkat diskon 15%, hitung;

a. Berapa nilai yang akan diterima Tuan Bakhtiyar

b. Berapa tingkat bunga yang akan diterima bank atas investasinya dalam wesel di atas jika wesel tersebut dipegang hingga tanggal jatuh tempo

c. Berapa tingkat bunga yang didapat Tuan Bakhtiyar ketika ia menjualnya pada 1 Agustus 2010

Jawab:

a. Pertama kita perlu membuat diagram waktu dan nilai sebagai berikut:

S= Rp100.000.000 x (1+(0,11x60/365)) = Rp101.808.219,2

Nilai yang diterima penjual pada 1 Agustus 2010 adalah:

P=Rp101.808.219,2 (1-(0,15x29/365))=Rp100.594.888,4

b. Bank akan memperoleh Rp1.213.330,8 (Rp101.808.219,2-Rp100.594.888,4) untuk investasi sebesar Rp100.594.888,4 selama 29 hari.

Jadi:

P= Rp100.594.888,4

SI = Rp1.213.330,8

t = 29 hari

maka:

r = SI/P.t = Rp1.213.330,8/Rp100.594.888,4x29/365 = 0,15181 atau 15,18%

c. Tuna Bakhtiyar mendapatkan bunga sebesar Rp594.888,4 untuk investasi Rp100.000.000 selama 31 hari. Tingkat bunga yang ia dapat adalah:

r=SI/Pt=Rp594.888,4/Rp100.000.000x31/365=0,07004=7%

>> Diskon Tunai

Untuk mendorong pembayaran yang lebih cepat, maka banyak produsen dan pedagang menawarkan potongan tunai untuk pembayaran jauh sebelum tanggal jatuh tempo. Biasanya, besarnya potongan dan syaratnya dinyatakan dalam termin kredit (credit terms), seperti 2/10, n/30, yang artinya diskon tunai atau potongan tunai (cash discount) sebesar 2% akan diberikan jika pembayaran dilakukan dalam 10 hari. Jika tidak, jumlah keseluruhan harus dilunasi dalam waktu 30 hari.

Contoh:

Seorang pedagang membeli sebuah peralatan kantor seharga Rp40.000.000 dengan termin kredit 4/30, n/100. Berapakah tingkat bunga efektif yang ditawarkan kepada pedagang tadi? (Catatan: Jika pedagang tadi ingin mendapatkan potongan, maka ia akan membayarnya pada hari ke-30, dan jika tidak, ia harus membayar barang yang dibelinya pada hari ke-100 atau ada perbedaan waktu 70 hari)

Jawab:

Perbedaan jumlah yang dibayarkan atau diskon adalah 4%, atau sebesar Rp40.000.000 x 4% = Rp1.600.000.

P = Rp40.000.000 – Rp1.600.000

= Rp38.400.000

SI = Rp1.600.000

t = 70/365

Cara 1:

r= SI/Pt = Rp1.600.000/Rp38.400.000x(70/365)

= 0,21726 = 21,73%

Cara 2:

r = 365/70 x 0,04/0,96

= 0,21726 = 21,73%

Seandainya pedagang tadi tidak memiliki uang tunai, tetapi memiliki akses untuk meminjam, maka tingkat bunga tertinggi yang masih menguntungkan pedagang tadi untuk meminjam guna mengambil diskon di atas adalah 21,73%. Jika tingkat bunga pinjaman lebih rendah dari 21,73%, pedagang tersebut sebaiknya meminjam karena diskon tunai yang didapat lebih besar daripada beban bunga yang harus dibayar untuk periode waktu yang sama.

Latihan

1) Sebuah wesel tanpa bunga bernilai nominal Rp1.000.000 yang jatuh tempo pada 20 September dijual dengan harga Rp970.000 pada 22 Juli. Berapa besarnya tingkat diskon yang dikenakan?

2) Tuan A meminjam kepada Tuan B sebesar Rp100.000.000. Tuan A bersedia membuat wesel 90 hari berbunga 8% dengan nilai nominal sedikit di atas Rp100.000.000 yang dapat didiskontokan langsung kepada bank yang akan memberikan diskon sebesar 10%. Berapa nilai nominal wesel tersebut agar Tuan B dapat menerima kembali uangnya yang sebesar Rp100.000.000 tersebut?

3) Ibu Anne memiliki wesel sebesar Rp50.000.000 tertanggal 17 Oktober 2009. Wesel tersebut akan jatuh tempo dalam 120 hari dengan bunga 19%. Apabila pada tanggal 15 Januari 2010, Ibu Anne menjual wesel tersebut kepada bank yang mengenakan tingkat diskon 20%, berapa hasil yang ia peroleh?

4) Tumino meminjam uang kepada Bank Merdeka sebesar Rp250.000.000 untuk jangka waktu 6 bulan. Apabila pihak bank mengenakan tingkat diskon 12% berapa besarnya nilai diskon dan uang tunai yang akan diperoleh Tumino?

5) Pada tanggal 15 April 2010, seorang debitur menandatangani wesel senilai Rp800.000.000 yang akan jatuh tempo dalam dua bulan dengan bunga 12% p.a. Pada tanggal 10 Mei 2010, pemegang wesel tersebut menjual wesel kepada Bank Central yang memberikan diskon 13%. Berapa nilai wesel tersebut pada saat jatuh tempo dan pada tanggal penjualan?

6) Antonio meminjam uang Rp50.000.000 untuk 8 bulan dari Anita dan dikenakan tingkat diskon 16%. Hitung;

a. Berapa uang yang akan diterima oleh Antonio

b. Berapa pinjaman yang seharusnya dimohon kepada Anita apabila ia ingin mendapatkan uang sejumlah Rp50.000.000 secara penuh?

7) Seorang pedagang membeli peralatan senilai Rp80.000.000, termin kredit 3/10, n/40.

a. Seandainya pedagang diatas tidak memiliki uang tunai, tetapi dapat meminjam, berapa tingkat bunga tertinggi yang masih menguntungkan pedagang tadi untuk meminjam guna mengambil diskon tunai di atas?

b. Berapa besar pinjaman yang harus ia ajukan?

c. Apabila pedagang tersebut dapat melakukan pinjaman dengan bunga 21%. Berapa keuntungan yang ia peroleh dari diskon tunai, jika ia membayar barang yang dibelinya dalam waktu 10 hari?

8) Sebuah wesel senilai Rp2.000.000, jangka waktu 60 hari, bunga 11% dikeluarkan oleh Pak Bandira tanggal 1 September 2010. Wesel tersebut digunakan untuk membayar utang kepada Ibu Anita. Pada tanggal 1 Oktober 2010, Ibu Anita mendiskontokan wesel yang ia peroleh dari Bapak Bandira kepada Bank Indika dengan tingkat diskon 9,5%. Hitung:

a. Berapa yang Ibu Anita terima dari bank?

b. Berapa tingkat bunga yang akan diterima bank atas investasinya dalam wesel di atas jika wesel tersebut dipegang hingga tanggal jatuh tempo?

c. Berapa tingkat bunga yang didapat Ibu Anita jika ia menjualnya pada tanggal 1 Oktober 2010?

9) Seorang pedagang membeli persediaan dari pemasok langganannya seharga Rp8.000.000. Ia membayarnya dengan menerbitkan wesel tanpa bunga berjangka waktu 60 hari yang jika dikenakan tingkat diskon 18% akan menghasilkan Rp8.000.000. berapa nilai wesel yang seharusnya dicantumkan oleh pedagang tersebut/

10) Berapa tingkat bunga yang membuat uang sebesar Rp15.000.000 untuk 8 bulan mendatang mempunyai nilai sekarang Rp14.000.000?

11) Jika diketahui tingkat bunga sebuah bank adalah 12%, berapa tingkat diskon yang ekuivalen untuk periode 3 bulan

12) Jika tingkat diskon sebuah bank adalah 12%, berapa tingkat bunga yang ekuivalen untuk periode 6 bulan

13) Berapa tingkat bunga efektif dari termin kredit 2/10,n/30 untuk pembayaran tunai lebih cepat

Bunga Majemuk

Related Posts:

Diskon dan Tingkat Diskon

Related Posts: