Bunga Majemuk

Sumber: Fresidy, Budi (2010). Matematika Keuangan, Edisi 3 Revisi. Penerbit Salemba Empat. Jakarta

       = Bunga Majemuk =

Materi yang lalu, kita asumsikan bahwa P tidak mengalami perubahan dari awal hingga akhir, sehingga nilai bunga selalu dihitung dari nilai pokok ini, hal ini terjadi pada bunga sederhana dan diskon. Dengan bunga majemuk, bunga yang jatuh tempo ditambahkan ke nilai pokok pada akhir setiap periode coumpond atau periode perhitungan bunga untuk mendapatkan pokok yang baru. Perhitungan bunga untuk periode berikutnya akan didasarkan pada nilai pokok baru ini dan bukan pada nilai pokok awal, begitu seterusnya.

Periode perhitungan bunga adalah periode bunga dihitung untuk ditambahkan ke pokok. Periode perhitungan bunga tidak harus satu tahun walaupun tingkat bunga selalu dinyatakan per tahun. Periode perhitungan bunga dapat dinyatakan dalam mingguan, bulanan, triwulanan, semesteran atau tahunan. Jika periode perhitungan bunga bukan tahunan, misalkan bulanan, maka tingkat bunga juga harus dalam bulan, yaitu dengan membagi tingkat bunga tahunan dengan dua belas.

Contoh: Hitung bunga dari Rp1.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 10% p.a. apabila bunga dihitung semesteran dan bandingkan dengan bunga sederhana yang dihasilkan.

Jawab:

Periode	Pokok Pinjaman (Rp)	Perhitungan Bunga Majemuk	Nilai pada Akhir Periode (Rp)
1	1.000.000	Rp1.000.000 x 0,05 = Rp50.000	1.050.000
2	1.050.000	Rp1.050.000 x 0,05 = Rp52.500	1.102.500
3	1.102.500	Rp1.102.500 x 0,05 = Rp55.125	1.157.625
4	1.157.625	Rp1.157.625x0,05 = Rp57.881,25	1.215.506,25

Jadi, total bunga majemuk selama dua tahun adalah Rp215.506,25, sedangkan bila menggunakan bunga sederhana, total bunganya adalah Rp200.000 (Rp1.000.000 x 10% x 2).

Untuk mempermudah perhitungan bunga majemuk, kita akan menggunakan notasi sebagai berikut:

P = nilai pokok awal (principal)

S = nilai akhir

n = jumlah periode perhitungan bunga

m = frekuensi perhitungan bunga dalam setahun, yaitu 2 untuk semesteran, 4 untuk triwulan, dan seterusnya

j_m = tingkat bunga nominal tahunan dengan periode

i = tingkat bunga per periode perhitungan bunga

formula dari bunga majemuk

 S = P (1+i)ⁿ

Faktor (1+i)ⁿ disebut faktor majemuk (compound factor) dan proses perhitungan S dari P disebut compounding atau akumulasi atau mencari nilai akan datang (future value). Sementara itu, perhitungan P dari S disebut mencari nilai sekarang (present value).

Contoh: Berapa nilai S dari P sebesar Rp10.000.000 jika j₁₂ = 12% selama:

a.       5 tahun

b.      25 tahun

a.       P = Rp10.000.000

i=12%/12 = 1% = 0,01

n= 5 tahun x 12 = 60 bulan

S= P(1+i)ⁿ

  = Rp10.000.000 (1+0,01)⁶⁰

  = Rp18.166.967

Pertumbuhan uang Rp100 pada tingkat bunga majemuk j₁₂

Tahun	6%	8%	10%	12%
5	134,89	148,98	164,53	181,67
10	181,94	221,96	270,70	330,04
15	245,41	330,69	445,39	599,58
20	331,02	492,68	732,81	1.089,26
25	446,50	734,02	1.205,69	1.978,85
30	602,26	1.093,57	1.983,74	3.594,96
35	812,36	1.629,26	3.263,87	6.530,96
40	1.095,75	2.427,34	5.370,07	11.864,77
45	1.478,00	3.616,36	8.835,42	21.554,69
50	1.993,60	5,387,82	14.536,99	39.158,34

b.      P=Rp10.000.000

i= 1% = 0,01

n= 25 tahun x 12 = 300 bulan

S = P(1+i)ⁿ

   = Rp10.000.000 (1+0,01)³⁰⁰

   = Rp197.884.662,6

Total bunga majemuk dari Rp10.000.000 dengan j₁₂=12% selama 25 tahun adalah Rp197.884.662,6 atau lebih dari 18 kali nilai pokok awal. Jika metode bunga sederhana yang digunakan, jumlah bunga hanya Rp30.000.000 jauh di bawah hasil dengan bunga majemuk.

>> Bunga Efektif dan Bunga Nominal

Tingkat bunga tahunan yang dinyatakan itu apakah diakhiri dengan p.a. atau tidak, disebut tingkat bunga nominal. Untuk setiap tingkat bunga nominal tertentu (j_m), kita mendapatkan tingkat bunga efektif yang ekuivalen yaitu yang jika digandakan tahunan (j₁) memberikan besar bunga yang sama per tahun.

j₁ artinya periode perhitungan bunga adalah sekali setahun atau tahunan, j₂ artinya dua kali dalam setahun atau semesteran, j₃ artinya tiga kali dalam setahun atau kuartalan, j₄ triwulanan, j₁₂ bulanan dan seterusnya.

Formula: j₁ = (1+i)^m – 1

Contoh: Hitung tingkat bunga efektif j₁ yang ekuivalen dengan:

a.       j₂ = 10%

b.      j₁₂ = 12%

c.       j₃₆₅ = 13,25%

Jawab:

a.       j₂=(1+(0,1/2))²-1

= (1,05)²-1

= 0,1025 = 10,25% 

b.      j₁₂=(1+(0,12/12))¹²-1

   = (1,01)¹²-1

   = 0,126825 = 12,68%

c.       j₃₆₅=(1+(0,1325/365))³⁶⁵-1

     = 1,14165 – 1

     = 0,14165 = 14,17%

Berapa tingkat bunga sederhana yang ekuivalen dengan j₂=9%, jika uang disimpan selama tiga tahun?

Jawab:

1+3r = (1+(0,09/2))⁶

1+3r = 1,3022601

r       = 0,1007533

         = 10,08%

>>Menghitung nilai sekarang

Seringkali kita diberikan nilai akhir (S), tingkat bunga (i), dan periode waktu (n) dan diminta untuk mencari atau menghitung nilai P, yaitu nilai sekarang (present value) atau nilai yang didiskontokan (discounted value) atau nilai pokok awal. Proses mencari P dari S ini disebut pendiskontoan (discounting).

P = S/ (1+i)ⁿ   

     ^{= S} (1+i)^-n

Atau yang lebih popular;

PV = FV (1+i)^-n

Faktor (1+i)^-n disebut faktor diskonto (discount factor) 

Contoh: Dengan menggunakan j₁₂=12%, hitung nilai diskonto dari uang sejumlah Rp100.000.000 yang jatuh tempo:

a.       10 tahun lagi

b.      25 tahun lagi

Jawab:

a.       a) S=Rp100.000.000

n= 10 tahun x 12 = 120 bulan

i= 12%/12 = 1% = 0,01

P = S/ (1+i)ⁿ  

    ^{= Rp100.000.000/}(1+0,01)120

   ^{= Rp 30.299.477,90}   

b.    b)   S= Rp100.000.000

n= 25 tahun x 12 = 300 bulan

i= 12%/12=1%=0,01

P = S/ (1+i)ⁿ  

    ^{= Rp100.000.000/}(1+0,01)300

   = Rp5.053.448,75   

Perhatikan bahwa sebaiknya pembulatan dalam menghitung (1,01)¹²⁰ dan (1,01)³⁰⁰ tidak dilakukan karena bukan merupakan hasil akhir. Kalaupun dilakukan pembulatan, usahakan sampai beberapa angka decimal untuk angka yang belum atau bukan merupakan hasil akhir dan cukup dua angka desimal untuk hasil akhir seperti contoh diatas.

Contoh: Pada tanggal 1 Januari 2010, sebidang tanah ditawarkan pada harga Rp180.000.000 secara tunai atau dengan membayar Rp100.000.000 hari ini ditambah Rp50.000.000 satu tahun lagi dan Rp50.000.000 dua tahun lagi. Jika diketahui j₁=16%, alternatif pembayaran mana yang sebaiknya dipilih pembeli?

Jawab:

Untuk menjawab soal ini, kita akan menghitung total nilai sekarang dari alternatif kedua kemudian membandingkannya dengan alternatif pertama. Pembeli tentunya akan memilih alternatif dengan harga yang lebih rendah.

Nilai sekarang dari alternatif pertama adalah Rp180.000.000.

Nilai sekarang dari alternatif kedua adalah:

=Rp100.000.000+Rp50.000.000(1,16)^-1 + Rp50.000.000(1,16)^-2

=Rp100.000.000+Rp43.103.448+Rp37.158.145

=Rp180.261.593

Alternatif kedua lebih mahal Rp261.593 dibandingkan alternatif pertama. Olehkarena itu, pembeli sebaiknya memilih alternatif pertama.

Related Posts:

Tweet